Avisos:
» El calendario de las exposiciones finales es
el siguiente:
Frank viernes 3 de
junio
Luis
lunes 6 de junio
Cristian miércoles 8 de junio
Uriel
viernes 10 de junio
Importante:
- Este curso se impartirá en línea a través de la
plataforma Zoom.
- Utilizaremos una licencia de la UNAM para dicha
plataforma. Los estudiantes requieren únicamente un browser
(Google Chrome o Firefox) e instalar el cliente de Zoom.
Pueden encontrar las instrucciones en el sitio de Aulas
Virtuales de la UNAM.
- Los alumnos oyentes son bienvenidos, pero el previo registro de todos los asistentes es obligatorio. Si deseas incluir tu nombre en la lista de correo del curso envía un correo a plaza@mym.iimas.unam.mx
Primera reunión:
El lunes 31 de enero del 2022 a las 17:00hrs. tendrá lugar la primera reunión, donde se presentará el curso y les daré las instrucciones para la conexión. La liga para esta primera reunión (así como las ligas para el resto de las lecciones del curso) se las haré llegar por correo electrónico unos minutos antes de empezar.
Horas de oficina:
Las horas de oficina se destinarán a atender a los alumnos con dudas y aclaraciones sobre el contenido del curso. No hay un horario fijo. Las citas se agendan mediante correo electrónico y se utilizará la plataforma Zoom.
Sobre el curso:
El objetivo principal del curso es introducir al estudiante
a la teoría de soluciones a sistemas hiperbólicos de leyes de
conservación. Se discutirán, entre otros temas: ecuaciones
escalares, la fórmula de Lax-Hopf, teoría de Kruzkov-Oleinik,
soluciones débiles a sistemas nolineales de leyes de
conservación, condiciones de entropía, el problema de Riemann,
ondas de choque, ondas de rarefacción, invariantes de Riemann,
discontinuidades de contacto, así como la solución al problema
de Cauchy para sistemas.
Contenido:
- Calendario 2022 (plan semestral): [PDF]
- Temario del curso, calendario y bibliografía [PDF]
- Página del Posgrado en Ciencias Matemáticas.
Material del curso:
| Fecha |
Lección |
Archivo |
Descripción |
| 31/01/2022 |
Presentación |
[PDF] |
Presentación del curso |
| 04/02/2022 |
Lección 1.1 |
[PDF] |
Derivación fenomenológica. |
| 09/02/2022 |
Lección 1.2 |
[PDF] |
Ejemplos: ecuaciones de Euler. |
| 11/02/2022 |
Lección 1.3 |
[PDF] |
Ejemplos: modelo de tráfico de LWR.
Hiperbolicidad. |
| 14/02/2022 |
Lección 1.4 |
[PDF] |
Hiperbolicidad (continuación). Existencia
local. |
| 16/02/2022 |
Lección 1.5 |
[PDF] |
Sistemas simetrizables. |
| 18/02/2022 |
Lección 1.6 |
[PDF] |
Rompimiento a tiempo finito. Soluciones
débiles. |
| 21/02/2022 |
Lección 1.7 |
[PDF] |
Condiciones de salto de Rankine-Hugoniot. |
| 23/02/2022 |
Lección 1.8 |
[PDF] |
No unicidad de soluciones débiles. |
| 25/02/2022 |
Lección 1.9 |
[PDF] |
Condiciones de entropía. Par de entropía. |
| 28/02/2022 |
Lección 1.10 |
[PDF] |
Entropía e hiperbolicidad. |
| 02/03/2022 |
Lección 1.11 |
[PDF] |
Entropía y simetrizabilidad. Lema de
Friedrichs-Lax. |
| 04/03/2022 |
Lección 1.12 |
[PDF] |
Aproximación viscosa. Ecuación de Burgers
viscosa. |
| 07/03/2022 |
Lección 1.13 |
[PDF] |
Transformación de Hopf-Cole. |
| 11/03/2022 |
Lección 1.14 |
[PDF] |
Acoplamiento genuino. Aproximación
viscosa. |
| 14/03/2022 |
Lección 1.15 |
[PDF] |
Límite de aproximación viscosa:
viscosidad idéntica. |
| 16/03/2022 |
Lección 1.16 |
[PDF] |
Límite de aproximación viscosa:
viscosidad real. |
| 18/03/2022 |
Lección 2.1 |
[PDF] |
Ley de conservación escalar: rompimiento
a tiempo finito. |
| 23/03/2022 |
Lección 2.2 |
[PDF] |
Soluciones entrópicas: par de Kruzkov. |
| 25/03/2022 |
Lección 2.3 |
[PDF] |
Condición de entropía generalizada. |
| 28/03/2022 |
Lección 2.4 |
[PDF] |
Condición de entropía generalizada (continuación). |
| 30/03/2022 |
Lección 2.5 |
[PDF] |
Condición de Oleinik. Unicidad en la
clase C1 por pedazos. |
| 01/04/2022 |
Lección 2.6 |
[PDF] |
La fórmula de Lax-Hopf. |
| 04/04/2022 |
Lección 2.7 |
[PDF] |
La fórmula de Lax-Hopf: existencia. |
| 06/04/2022 |
Lección 2.8 |
[PDF] |
La fórmula de Lax-Hopf: existencia
(continuación). |
| 08/04/2022 |
Lección 2.9 |
[PDF] |
La fórmula de Lax-Hopf: existencia
(continuación). Unicidad. |
| 18/04/2022 |
Lección 2.10 |
[PDF] |
Unicidad de la fórmula de Lax-Hopf (fin
de la demostración). |
| 20/04/2022 |
Lección 2.11 |
[PDF] |
Comportamiento asintótico de la solución
de Lax-Hopf en la norma L |
| 22/04/2022 |
Lección 2.12 |
[PDF] |
Soluciones autosimilares. Problema de
Riemann, caso convexo. |
| 25/04/2022 |
Lección 2.13 |
[PDF] |
Problema de Riemann, caso general. Método
de Oleinik. |
| 27/04/2022 |
Lección 2.14 |
[PDF] |
Problema de Riemann, caso general:
existencia y unicidad. |
| 29/04/2022 |
Lección 2.15 |
[PDF] |
Teoría de Kruzkov-Oleinik: método de
aproximación viscosa. |
| 02/05/2022 |
Lección 2.16 |
[PDF] |
Teoría de Kruzkov-Oleinik: propiedades de
la solución viscosa. |
| 04/05/2022 |
Lección 2.17 |
[PDF] |
Teoría de Kruzkov-Oleinik: teorema de
unicidad de Kruzkov. |
| 06/05/2022 |
Lección 3.1 |
[PDF] |
Sistemas en una dimensión. Sistemas
lineales. |
| 09/05/2022 |
Lección 3.2 |
[PDF] |
Nolinealidad genuina y degeneración
lineal. |
| 11/05/2022 |
Lección 3.3 |
[PDF] |
Normalizaciones. Ondas de rarefacción. |
| 13/05/2022 |
Lección 3.4 |
[PDF] |
Existencia local de ondas de rarefacción.
Invariantes de Riemann. |
| 16/05/2022 |
Lección 3.5 |
[PDF] |
Existencia local de invariantes de
Riemann. |
| 18/05/2022 |
Lección 3.6 |
[PDF] |
Ondas simples. |
| 20/05/2022 |
Lección 3.7 |
[PDF] |
Ondas simples (continuación). El conjunto
de Hugoniot. |
| 23/05/2022 |
Lección 3.8 |
[PDF] |
Demostración del teorema de
representación de Lax. |
| 25/05/2022 |
Lección 3.9 |
[PDF] |
Ondas de choque y discontinuidades de
contacto. Condiciones de entropía de Lax. |
| 28/05/2022 |
Lección 3.10 |
[PDF] |
Solución local al problema de Riemann. |
Material auxiliar:
- Para aquellos interesados en revisar la deducción de las ecuaciones de Navier-Stokes en el caso compresible les recomiendo consultar la tesis de licenciatura de Felipe Angeles. Pueden descargar el documento aquí.
- En este documento presento algunos modelos en mecánica de medios continuos, fisico-química y electromagnetismo, que tiene la forma de un sistema de leyes de conservación o leyes de balance: [PDF].
- Unicidad: contracción en la norma L1 para soluciones entrópicas de clase C1 por pedazos. [PDF]
- He aquí la lista de los artículos para exposición final:
- Falle, S. A., Williams, R. J., Shock structures
described by hyperbolic balance laws. SIAM J. Appl.
Math. 79 (2019), no. 1, 459–476.
- Huicheng, Y., Lu, Z., The shock formation and
optimal regularities of the resulting shock curves for
1D scalar conservation laws. Nonlinearity 35 (2022),
no. 2, 954–997.
- Keimer, A., Singh, M., Veeravalli, T., Existence and
uniqueness results for a class of nonlocal conservation
laws by means of a Lax-Hopf-type solution formula.
J. Hyperbolic Differ. Equ. 17 (2020), no. 4, 677–705.
- Krupa, S. G., Vasseur, A. F., On uniqueness of solutions to conservation laws verifying a single entropy condition. J. Hyperbolic Differ. Equ. 16 (2019), no. 1, 157–191.
- Li, S., Riemann problem for a class of non-strictly hyperbolic systems of conservation laws. Acta Appl. Math. 177 (2022), Paper No. 3, 19 pp.
- Serre, D., L2-type Lyapunov functions for hyperbolic scalar conservation laws. Comm. Partial Differential Equations 47 (2022), no. 2, 401–416.
- Serre, D., Vasseur, A. F., About the relative entropy method for hyperbolic systems of conservation laws. In Contemp. Math., 658, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2016, pp. 237–248.
- Stokols, L. F., L2-type
contraction of viscous shocks for scalar conservation
laws. J. Hyperbolic Differ. Equ. 18 (2021), no. 2,
271–292.
- Sun, W., Liu, Y., Explicit solution for a class of coupled hyperbolic systems of conservation laws. Appl. Anal. 100 (2021), no. 3, 630–641.
- Vasseur, A. F., Relative entropy and contraction for extremal shocks of conservation laws up to a shift. In Contemp. Math., 666, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2016, pp. 385–404.
- Zhang, Y., Zhang, Y., Riemann problem and wave interactions for a class of strictly hyperbolic systems of conservation laws. Bull. Braz. Math. Soc. (N.S.) 51 (2020), no. 4, 1017–1040.
- Comportamiento asintótico de la solición de Lax-Hopf [PDF].
- Demostración del teorema de Kruzkov [PDF].
Bibliografía
Bibliografía básica:
- A. Bressan, Hyperbolic systems of conservation laws. The one-dimensional Cauchy problem. Vol. 20 of Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, Oxford University Press, Oxford, 2000.
- C. M. Dafermos, Hyperbolic conservation laws in continuum physics, fourth edition. Vol. 325 of Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, Berlin, 2016.
- J. Smoller, Shock Waves and Reaction-Diffusion Equations, second edition. Springer-Verlag, New York, 1994.
- D. Serre, Systems of Conservation Laws 1.
Hyperbolicity, entropies, shock waves. Cambridge
University Press, Cambridge, 1999.
Bibliografía complementaria:
- S. Benzoni-Gavage, D. Serre, Multidimensional hyperbolic partial differential equations: First-order systems and applications. Oxford Mathematical Monographs, The Clarendon Press - Oxford University Press, Oxford, 2007.
- E. Godlewski and P. A. Raviart, Hyperbolic systems of conservation laws. Vol. 3-4 of Mathématiques et Applications, Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles, Éditions Ellipses, Paris, 1991.
- E. Godlewski and P. A. Raviart, Numerical approximation of hyperbolic systems of conservation laws. Vol. 118 of Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York, 1996.
- P. D. Lax, Hyperbolic Systems of Conservation Laws and the Mathematical Theory of Shock Waves. Vol. 11 of CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 1973.
- P. G. LeFloch, Hyperbolic systems of conservation laws: The theory of classical and nonclassical shock waves. Lectures in Mathematics ETH Zürich, Birkhäuser Verlag, Basel, 2002.
- T. P. Liu, Hyperbolic and Viscous Conservation Laws. Vol. 72 of CBMS-NSF Regional Conference Series in Applied Mathematics, SIAM, Philadelphia, 2000.
- A. Majda, Compressible fluid flow and systems of conservation laws in several space variables. Vol. 53 of Applied Mathematical Sciences, Springer-Verlag, New York, 1984.
- D. Serre, Systems of Conservation Laws 2. Geometric
structures, oscillations and initial-boundary
value problems. Cambridge University Press, Cambridge, 2000.