Avisos:
» La fecha de entrega de la Tarea 2 es
el lunes 7 de junio.
» Ya está disponible la Tarea 3.
Nota importante:
Por instrucciones de las autoridades universitarias, durante el semestre 2021-2 todos los cursos del Posgrado en Ciencias Matemáticas deberán impartirse en línea. Este curso se impartirá con la plataforma CISCO Webex. Los alumnos oyentes son bienvenidos, pero el previo registro de todos los asistentes es obligatorio para el correcto uso de la plataforma CISCO-Webex. Si deseas incluir tu nombre en la lista de correo del curso envía un correo a plaza@mym.iimas.unam.mx
Primera reunión:
El lunes 15 de febrero a las 16:00hrs. tendrá lugar la primera reunión, donde se presentará el curso y les daré las instrucciones para la conexión. Esta reunión tendrá lugar en mi sala personal de Cisco-Webex: https://unam.webex.com/meet/plaza
Horas de oficina:
Las horas de oficina son los martes de 17:00 a 18:00 hrs. La liga permanente es mi sala personal de CISCO-Webex: https://unam.webex.com/meet/plaza Si no pueden asistir, podemos concertar una cita por correo electrónico.
Sobre el curso:
El objetivo principal del curso es introducir al estudiante a la teoría lineal de ecuaciones diferenciales parciales basada en espacios de Sobolev. Se discutirán: espacios de Hilbert y de Banach, teoría de distribuciones, espacios de Sobolev, ecuaciones lineales de tipo elíptico.
Contenido:
- Calendario 2021-1 (plan semestral) modificado por la contingencia sanitaria: [PDF]
- Temario del curso, calendario y bibliografía [PDF]
- Página del Posgrado en Ciencias Matemáticas.
Material del curso:
| Fecha |
Lección |
Archivo |
Descripción |
| 15/02/2021 |
Presentación |
[PDF] |
Presentación del curso |
| 17/02/2021 |
Lección 1.1 |
[PDF] |
Propiedades básicas de espacios de
Hilbert y de Banach. |
| 22/02/2021 |
Lección 1.2 |
[PDF] |
Propiedades básicas (continuación).
Teoremas de proyección y de representación de Riesz. |
| 24/02/2021 |
Lección 1.3 |
[PDF] |
Operadores lineales. Espacio dual.
Alternativa de Fredholm. |
| 01/03/2021 |
Lección 1.4 |
[PDF] |
Teorema de Lax-Milgram. Lema de
Stampacchia. |
| 03/03/2021 |
Lección 1.5 |
[PDF] |
Lema de Babuska-Brezzi. Operadores
positivos y funcional cuadrático. |
| 08/03/2021 |
Lección 1.6 |
[PDF] |
Espacio de energía. Métodos de Ritz y de
la base ortonormal. |
| 10/03/2021 |
Lección 1.7 |
[PDF] |
Método de Galerkin. |
| 17/03/2021 |
Lección 2.1 |
[PDF] |
Distribuciones. Definición y propiedades
básicas. |
| 22/03/2021 |
Lección 2.2 |
[PDF] |
Convergencia. |
| 24/03/2021 |
Lección 2.3 |
[PDF] |
Operaciones con distribuciones.
Convolución. |
| 05/04/2021 |
Lección 2.4 |
[PDF] |
Transformada de Fourier. Distribuciones
temperadas. |
| 07/04/2021 |
Lección 3.1 |
[PDF] |
Espacios de Sobolev en Rn.
Propiedades básicas. |
| 12/04/2021 |
Lección 3.2 |
[PDF] |
Completez. Lema de Sobolev. |
| 14/04/2021 |
Lección 3.3 |
[PDF] |
Espacios de Sobolev en dominios
arbitrarios.Teoremas de aproximación. |
| 19/04/2021 |
Lección 3.4 |
[PDF] |
Teoremas de aproximación (continuación).
Extensiones. |
| 21/04/2021 |
Lección 3.5 |
[PDF] |
Teoremas de traza. |
| 26/04/2021 |
Lección 3.6 |
[PDF] |
Teoremas de traza (continuación). |
| 28/04/2021 |
Lección 3.7 |
[PDF] |
Fórmula de Green. Desigualdad de
Gagliardo-Nirenberg-Sobolev. |
| 03/05/2021 |
Lección 3.8 |
[PDF] |
Desigualdades de Poincaré y de Morrey.
Teoremas de encaje. |
| 05/05/2021 |
Lección 3.9 |
[PDF] |
Teorema de Rellich-Kondrachov. |
| 12/05/2021 |
Lección 3.10 |
[PDF] |
Aplicaciones de Rellich-Kondrachov.
Compacidad del operador de traza. |
| 17/05/2021 |
Lección 3.11 |
[PDF] |
Espacio dual. Cocientes en diferencias. |
| 19/05/2021 |
Lección 4.1 |
[PDF] |
Operadores elípticos. Forma de Dirichlet. |
| 24/05/2021 |
Lección 4.2 |
[PDF] |
Problemas de Dirichlet y de Neumann:
solución débil. |
| 26/05/2021 |
Lección 4.3 |
[PDF] |
Problemas mixtos. |
| 31/05/2021 |
Lección 4.4 |
[PDF] |
Formulación débil: elasticidad lineal y
problema de Stokes. |
| 02/06/2021 |
Lección 4.5 |
[PDF] |
Problema de Stokes (continuación).
Operadores elípticos de segundo orden. |
| 07/06/2021 |
Lección 4.6 |
[PDF] |
Operadores elípticos de segundo orden
(continuación). Teoría de regularidad. |
| 09/06/2021 |
Lección 4.7 |
[PDF] |
Teoría de regularidad (continuación). |
Material auxiliar:
Próximamente.Tareas:
IMPORTANTE. Instrucciones para la entrega de
tareas:
- Debido a la contingencia sanitaria, durante este curso la entrega de tareas será exclusivamente por correo electrónico.
- Para evitar archivos demasiado grandes o ilegibles el
único formato posible de entrega para las tareas es el formato
PDF. No se aceptan otros formatos (JPG,
PNG, etc.)
- Por favor eliminen los permisos de edición del archivo PDF con el fin de poder corregir la tarea sobre el mismo.
- No se aceptan tareas extemporáneas.
Tareas del curso:
- Tarea 1 [PDF].
Fecha de entrega: pasada.
- Tarea 2 [PDF].
Fecha de entrega: 7 de junio, 2021.
- Tarea 3 [PDF].
Fecha de entrega: por determinar.
Bibliografía
Bibliografía básica:
- L. C. Evans, Partial Differential Equations, vol. 19 of Graduate Studies in Mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1998.
- S. Salsa, Partial differential equations in action. From modelling to theory, Universitext, Springer-Verlag, Milan, Italia, 2008.
Bibliografía complementaria:
Análisis Funcional
- A. Bressan, Lecture Notes on Functional Analysis, vol. 143 of Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, 2013.
- S. Kesavan, Topics in functional analysis and applications, John Wiley & Sons, Inc., New York, 1989.
- K. Rektorys, Variational methods in mathematics,
science and engineering, D. Reidel Publishing Co.,
Dordrecht, second ed., 1980.
Teoría de distribuciones
- G. Eskin, Lectures on linear partial differential equations, vol. 123 of Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, 2011.
- L. Schwartz, Mathematics for the Physical Sciences, Addison-Wesley, 1966.
- R. S. Strichartz, A Guide to Distribution Theory and Fourier Transforms, Studies in Advanced Mathematics, CRC-Press, Boca Ratón, Florida, 1994.
- A. H. Zemanian, Distribution theory and transform analysis: an introduction to generalized functions, with applications, Dover Publications, 1965.
Espacios de Sobolev
- R. A. Adams, Sobolev spaces, Academic Press, 1975.
- H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev spaces, and Partial Differential Equations, Universitext Springer Verlag, 2011.
- G. Eskin, Lectures on Linear Partial Differential
Equations, vol. 123 of Graduate Studies in
Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI,
2011.
- G. Leoni, A First Course in Sobolev spaces, vol.
181 of Graduate Studies in Mathematics, American
Mathematical Society, Providence, RI, second ed., 2017.
Ecuaciones elípticas
- H. Attouch, G. Buttazzo, G. Michaille, Variational
Analysis in Sobolev and BV Spaces, second ed. Society
of Industrial and Applied Mathematics, Philadelphia, PA,
2014.
- R. Courant, D. Hilbert, Methods of mathematical physics. Vol. II: Partial differential equations. Wiley Classics Library, John Wiley and Sons Inc., New York, 1962.
- G. B. Folland, Introduction to Partial Differential Equations, second ed., Princeton University Press, 1995.
- D. Gilbarg, N. S. Trudinger, Elliptic partial differential equations of second order, Classics in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, 1998.
- Q. Han, F. Lin, Elliptic partial differential equations, vol. 1 of Courant Lecture Notes in Mathematics, New York University Courant Institute of Mathematical Sciences, New York, 1997.
- R. E. Showalter, Hilbert space methods in partial differential equations, Electronic Journal of Differential Equations, Monograph no. 1, 1994.