Avisos:
» La última clase tendrá lugar el próximo viernes
26 de noviembre de 16:00 a 18:00 hrs.
» El calendario de presentaciones es como sigue:
- Lunes 6 de diciembre:
Luis Antonio Cedeño 16:00 hrs.; Uriel Martínez 16:50 hrs.
- Miércoles 8 de diciembre:
Cristian Morales 16:00 hrs.; Jonathan Naffrichoux 16:50 hrs.
Nota importante:
Por instrucciones de las autoridades universitarias, durante el semestre 2022-1 todos los cursos del Posgrado en Ciencias Matemáticas deberán impartirse en línea. Este curso se impartirá con la plataforma CISCO Webex. Los alumnos oyentes son bienvenidos, pero el previo registro de todos los asistentes es obligatorio para el correcto uso de la plataforma CISCO-Webex. Si deseas incluir tu nombre en la lista de correo del curso, por favor envía un correo a plaza@mym.iimas.unam.mx
Primera reunión:
El lunes 9 de agosto a las 16:00hrs. tendrá lugar la primera reunión, donde se presentará el curso y les daré las instrucciones para la conexión. Esta reunión tendrá lugar en mi sala personal de Cisco-Webex: https://unam.webex.com/meet/plaza
Horas de oficina:
Las horas de oficina serán (tentativamente) los martes de 17:00 a 18:00 hrs. La liga permanente es mi sala personal de CISCO-Webex: https://unam.webex.com/meet/plaza Si no pueden asistir, podemos concertar una cita por correo electrónico.
Sobre el curso:
El objetivo principal del curso es introducir al estudiante a la teoría de semigrupos y sus aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales de evolución. Se discutirán: integral de Bochner y espacios dependientes del tiempo, teoría de generación de semigrupos (teoremas de tipo Hille-Yosida y de Lumer-Philips), regularidad, teoría de aproximación, estabilidad de semigrupos, el problema abstracto de Cauchy y semigrupos de evolución. Asimismo, se prestará especial atención a las aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales de tipo parabólico y de tipo hiperbólico.
Contenido:
- Calendario 2022-1 (plan semestral) modificado por la contingencia sanitaria: [PDF]
- Temario del curso, calendario y bibliografía [PDF]
- Página del Posgrado en Ciencias Matemáticas.
Material del curso:
| Fecha |
Lección |
Archivo |
Descripción |
| 09/08/2021 |
Presentación |
[PDF] |
Presentación del curso. |
| 11/08/2021 |
Lección 1.1 |
[PDF] |
Teorema de Pettis. Integral de Bochner. |
| 16/08/2021 |
Lección 1.2 |
[PDF] |
Teorema de Bochner. Espacios Lp([0,T];X). |
| 18/08/2021 |
Lección 1.3 |
[PDF] |
Distribuciones vectoriales. Espacios W1,p([0,T];X). |
| 23/08/2021 |
Lección 2.1 |
[PDF] |
C0-semigrupos:
definición y propiedades básicas. |
| 25/08/2021 |
Lección 2.2 |
[PDF] |
El generador infinitesimal. |
| 30/08/2021 |
Lección 2.3 |
[PDF] |
Operador resolvente. |
| 01/09/2021 |
Lección 2.4 |
[PDF] |
Teorema de Hille-Yosida. |
| 06/09/2021 |
Lección 2.5 |
[PDF] |
Ejemplos. Teorema de
Feller-Miyadera-Phillips. |
| 13/09/2021 |
Lección 2.6 |
[PDF] |
Teorema de Lumer-Phillips. |
| 20/09/2021 |
Lección 2.7 |
[PDF] |
Semigrupo dual. |
| 22/09/2021 |
Lección 2.8 |
[PDF] |
Teorema de Stone. Semigrupos analíticos. |
| 27/09/2021 |
Lección 2.9 |
[PDF] |
Semigrupos analíticos (continuación). |
| 29/09/2021 |
Lección 2.10 |
[PDF] |
Perturbación de semigrupos.
Perturbaciones acotadas. |
| 04/10/2021 |
Lección 2.11 |
[PDF] |
Perturbaciones relativamente acotadas.
Potencias fraccionarias. |
| 06/10/2021 |
Lección 2.12 |
[PDF] |
Potencias fraccionarias (continuación).
Estabilidad de semigrupos. |
| 11/10/2021 |
Lección 2.13 |
[PDF] |
Teorema de Gearhart-Prüss. Problema de
Cauchy homogéneo. |
| 18/10/2021 |
Lección 2.14 |
[PDF] |
Problema abstracto de Cauchy. Soluciones
"mild". |
| 20/10/2021 |
Lección 2.15 |
[PDF] |
Problema abstracto de Cauchy no
homogéneo. Soluciones fuertes. |
| 25/10/2021 |
Lección 2.16 |
[PDF] |
Regularidad a soluciones del problema de
Cauchy. |
| 03/11/2021 |
Lección 2.17 |
[PDF] |
Regularidad en espacios de Hölder.
Sistemas de evolución. |
| 08/11/2021 |
Lección 2.18 |
[PDF] |
Familias estables de generadores.
Sistemas de evolución en el caso hiperbólico. |
| 10/11/2021 |
Lección 2.19 |
[PDF] |
Regularidad de sistemas de evolución
(caso hiperbólico) |
| 17/11/2021 |
Lección 3.1 |
[PDF] |
Aplicaciones: Ecuaciones parabólicas, I. |
| 22/11/2021 |
Lección 3.2 |
[PDF] |
Ecuaciones parabólicas II. Ecuaciones
hiperbólicas I: ecuación de onda. |
| 24/11/2021 |
Lección 3.3 |
[PDF] |
Ecuaciones hiperbólicas II. |
| 26/11/2021 |
Lección 3.4 |
[PDF] |
Ecuaciones hiperbólicas III. |
Material auxiliar:
- El temario para la exposición final se puede descargar aquí.
- Escojan un tema, pónganse de acuerdo para no repetir y por
favor comuníquenme su decisión lo antes posible para que
tengan tiempo de preparar su exposición.
Tareas:
IMPORTANTE. Instrucciones para la entrega de
tareas:
- Debido a la contingencia sanitaria, durante este curso la entrega de tareas será exclusivamente por correo electrónico.
- Para evitar archivos demasiado grandes o ilegibles el
único formato posible de entrega para las tareas es el formato
PDF. No se aceptan otros formatos (JPG, PNG, etc.)
- Por favor eliminen los permisos de edición del archivo PDF con el fin de poder corregir la tarea sobre el mismo.
Tareas del curso:
- Tarea 1 [PDF].
Fecha de entrega: pasada.
Bibliografía
- J. M. Ball, Strongly continuous semigroups, weak solutions, and the variation of constants formula, Proc. Amer. Math. Soc. 63 (1977), no. 2, 370-373.
- C. Chicone, Y. Latushkin, Evolution semigroups in
dynamical systems and differential equations, vol. 70
of Mathematical Surveys and Monographs, American
Mathematical Society, Providence, RI, 1999.
- D. Cramer, Y. Latushkin, Gearhart-Prüss theorem in stability for wave equations: a survey, in Evolution equations, G. Goldstein, R. Nagel, and S. Romanelli, eds., vol. 234 of Lecture Notes in Pure and Appl. Math., Dekker, New York, 2003, pp. 105-119.
- K. J. Engel, R. Nagel, One-parameter semigroups for linear evolution equations, vol. 194 of Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, New York, 2000.
- K. J. Engel, R. Nagel, A short course on operator semigroups, Universitext, Springer-Verlag, New York, 2006.
- L. C. Evans, Application of nonlinear semigroup theory to certain partial differential equations, in Nonlinear evolution equations (Proc. Sympos., Univ. Wisconsin, Madison, Wis., 1977), M. G. Crandall, ed., vol. 40 of Publ. Math. Res. Center Univ. Wisconsin, Academic Press, New York-London, 1978, pp. 163-188.
- L. C. Evans, Partial differential equations, vol. 19 of Graduate Studies in Mathematics, American Mathematical Society, Providence, RI, second ed., 2010.
- T. Kato, The Cauchy problem for quasi-linear symmetric hyperbolic systems, Arch. Ration. Mech. Anal. 58 (1975), no. 3, 181-205.
- T. Kato, Quasi-linear equations of evolution, with applications to partial differential equations, in Spectral theory and differential equations (Proc. Sympos., Dundee, 1974), W. N. Everitt, ed., no. 448 in Lecture Notes in Mathematics, Springer, Berlin, 1975, pp. 25-70.
- A. Lunardi, Analytic semigroups and optimal regularity in parabolic problems, vol. 16 of Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications, Birkhäuser Verlag, Basel, 1995.
- A. Pazy, Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York, 1983.
- M. Renardy, R. C. Rogers, An introduction to partial differential equations, vol. 13 of Texts in Applied Mathematics, Springer-Verlag, New York, second ed., 2004.
- I. I. Vrabie, C0-semigroups and applications, vol. 191 of North-Holland Mathematics Studies, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 2003.
- K. Yosida, Functional analysis, Classics in
Mathematics, Springer-Verlag, Berlin, sixth ed., 1980.