Introducción Matemática a la Mecánica Celeste

Presentación

La mecánica celeste es una de las primeras y más influyentes áreas de la física matemática. Su propósito inicial fue explicar el movimiento de los planetas, la Luna, los cometas y otros cuerpos celestes a partir de principios mecánicos. Desde el punto de vista matemático, proporciona un escenario natural para estudiar ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos, geometría, leyes de conservación, problemas variacionales y métodos de perturbación.

Este curso ofrece una introducción matemática a la mecánica celeste, con énfasis en el paso de las observaciones astronómicas clásicas a modelos formulados mediante ecuaciones diferenciales. Partiremos de la ley de gravitación universal de Newton y estudiaremos cómo se deducen las leyes de Kepler en el problema de un cuerpo bajo una fuerza central. Posteriormente analizaremos el problema de dos cuerpos, el problema de n-cuerpos y algunos aspectos fundamentales del problema restringido de tres cuerpos.

El curso buscará combinar intuición geométrica, formulación analítica y rigor matemático. Se estudiarán tanto resultados clásicos —órbitas keplerianas, elementos orbitales, conservación de energía y momento angular— como problemas que muestran la riqueza moderna de la mecánica celeste, entre ellos colisiones, equilibrios relativos, curvas de velocidad cero y perturbaciones.

Horario

• Lunes: 13:00 h, clase con el profesor.
• Martes: 13:00 h, sesión con el ayudante.
• Miércoles: 13:00 h, clase con el profesor.
• Jueves: 13:00 h, sesión con el ayudante.
• Viernes: 13:00 h, clase con el profesor.

Salón: por determinar.

Objetivos

Al finalizar el curso, se espera que las y los estudiantes sean capaces de:

• Formular matemáticamente el movimiento bajo campos de fuerzas centrales.
• Deducir las leyes de Kepler a partir de la ley de gravitación universal y las leyes de Newton.
• Clasificar las órbitas keplerianas mediante energía, momento angular y excentricidad.
• Describir órbitas mediante elementos orbitales y resolver la ecuación de Kepler de forma analítica o aproximada.
• Reducir el problema de dos cuerpos al problema de Kepler.
• Formular el problema de n-cuerpos, sus leyes de conservación y sus dificultades fundamentales.
• Introducir el problema restringido de tres cuerpos y estudiar sus puntos de equilibrio, la integral de Jacobi y las curvas de velocidad cero.
• Conocer ideas básicas de teoría de perturbaciones en mecánica celeste.

Temario tentativo

Unidad I. Antecedentes y formulación newtoniana

• Breve historia: de Ptolomeo y Copérnico a Kepler, Galileo y Newton.
• Ley de gravitación universal.
• Segunda ley de Newton y ecuaciones diferenciales del movimiento.
• Campos de fuerzas centrales.

Unidad II. Fuerzas centrales y leyes de conservación

• Invariancias del problema: traslaciones temporales, reversibilidad e isometrías.
• Momento angular y reducción al movimiento plano.
• Coordenadas polares.
• Fórmula del área en polares.
• Segunda ley de Kepler.
• Energía y potencial newtoniano.

Unidad III. El problema de Kepler

• Trayectorias newtonianas no rectilíneas.
• Cónicas con un foco en el origen.
• Primera ley de Kepler.
• Clasificación de órbitas por energía: elipses, parábolas e hipérbolas.
• Soluciones globales.
• Excentricidad, pericentro, apocentro y semiejes.
• Tercera ley de Kepler.

Unidad IV. Elementos orbitales y ecuación de Kepler

• Anomalía verdadera, anomalía excéntrica y anomalía media.
• Ecuación de Kepler.
• Método de Newton para la ecuación de Kepler.
• Expansiones del movimiento elíptico.
• Elementos orbitales en el plano y en el espacio.
• Coordenadas astronómicas.

Unidad V. El problema de dos cuerpos

• Centro de masas.
• Principio de relatividad de Galileo.
• Reducción al problema de Kepler.
• Conservación de energía y momento angular.
• Tipos de movimiento en el sistema de dos cuerpos.

Unidad VI. El problema de n-cuerpos

• Ecuaciones del problema de n-cuerpos.
• Potencial newtoniano y energía.
• Homogeneidad del potencial.
• Leyes de conservación.
• Momento de inercia y fórmula de Lagrange-Jacobi.
• Colisiones y teorema de Sundman.
• Configuraciones centrales y soluciones homográficas.

Unidad VII. El problema restringido de tres cuerpos

• Formulación del problema circular restringido.
• Coordenadas rotantes.
• Integral de Jacobi.
• Curvas de velocidad cero.
• Puntos de equilibrio de Euler y Lagrange.
• Interpretación dinámica y aplicaciones.

Unidad VIII. Introducción a perturbaciones

• Variación de elementos orbitales.
• Perturbaciones de primer orden.
• Ejemplos del sistema solar.
• Comentarios sobre problemas modernos de la mecánica celeste.

Requisitos recomendados

Se recomienda haber cursado ecuaciones diferenciales ordinarias y tener familiaridad con cálculo de varias variables, álgebra lineal y nociones básicas de mecánica clásica. No se presupone conocimiento avanzado de astronomía.

Forma de trabajo

El curso combinará exposición en pizarrón, discusión de ejemplos y resolución de ejercicios. Se promoverá que las y los estudiantes desarrollen intuición geométrica sobre las órbitas, sin perder de vista la formulación rigurosa mediante ecuaciones diferenciales.

Cuando sea conveniente, se usarán simulaciones o cálculos computacionales sencillos para visualizar órbitas, curvas de velocidad cero, elementos orbitales y soluciones del problema restringido de tres cuerpos.

Evaluación propuesta

• Tareas: 25%.
• Examen parcial o ejercicios integradores: 50%.
• Trabajo final, exposición o proyecto computacional: 25%.

La forma definitiva de evaluación se acordará al inicio del semestre.

Material de referencia

• Curso de Arturo Olvera: Introducción a la Mecánica Celeste.
• Notas del curso: Rafael Ortega y Antonio J. Ureña, Introducción a la Mecánica Celeste.

Bibliografía básica

1. Rafael Ortega y Antonio J. Ureña, Introducción a la Mecánica Celeste, Granada, 2021.
2. Harry Pollard, Mathematical Introduction to Celestial Mechanics, Prentice-Hall, 1966.
3. Forest R. Moulton, An Introduction to Celestial Mechanics.
4. Shlomo Sternberg, Celestial Mechanics.
5. V. I. Arnold, V. V. Kozlov y A. I. Neishtadt, Mathematical Aspects of Classical and Celestial Mechanics.
6. O. Montenbruck y T. Pfleger, Astronomy on the Personal Computer.