Introducción a la Mecánica Analítica
Métodos Numéricos en Teoría
KAM por el método de la parametrización
Renato C. Calleja Castillo y
Pedro Porras Flores
Mexican HAT
2023
14 y 15 de diciembre de 2023
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15 de diciembre Notas
Resumen
La teorı́a KAM es una área fundamental de la fı́sica matemática
que se enfoca en la existencia y persistencia de soluciones
cuasi-periódicas en Sistemas Hamiltonianos, [4, 5]. Estos sistemas
modelan el movimiento de cuerpos celestes o partı́culas dentro de
un reactor de fusión, entre otros fenómenos. El método de la
parametrización introducido en teorı́a KAM en [1], se enfoca en
buscar un toro que satisface una ecuación de invarianza y tiene
propiedades dinámicas y geométricas, [2]. Explicaremos el método
de la parametrización en formato a posteriori para probar un
teorema KAM para toros en sistemas Hamiltonianos no autónomos
utilizando técnicas desarrolladas en [3]. Obtendremos pruebas
explı́citas utilizando expresiones simples de la dinámica interna
y expresiones geométricas asociadas a los sistemas en cuestión.
Una ventaja de este método es que los esquemas que se derivan de
las pruebas, proporcionan métodos numéricos eficientes y
confiables para calcular los toros. Es importante recalcar que no
es necesario comenzar del caso integrable y los métodos funcionan
cuando los toros están cerca de su rompimiento. Presentaremos
algunas implementaciones numéricas que se pueden deducir de los
teoremas constructivos. Si el tiempo lo permite, hablaremos de los
criterios de rompimiento de los toros invariantes.
Este curso consistirá de 4 horas. Un temario
tentativo de las clases se enuncia a continuación.
- Teorı́a KAM para sistemas conservativos.
- Integración y métodos numéricos preliminares.
- De las pruebas constructivas a los métodos
numéricos
- Algunas aplicaciones.
Bibliografı́a
[1] Rafael de la Llave, Alejandra González, Àngel Jorba,
and Jordi Villanueva. KAM theory with-
out action-angle variables. Nonlinearity, 18(2):855, 2005.
[2] Haro, A. , Canadell, M., Figueras, J-Ll., Luque, A. Mondelo,
J.-M. [2016], The Parameter-
ization Method for Invariant Manifolds: From Rigorous Results to
Effective Computations.
Applied Mathematical Sciences, 195. Springer, [Cham], 2016.
[3] Alex Haro and Alejandro Luque. A-posteriori KAM theory with
optimal estimates for par-
tially integrable systems. Journal of Differential Equations,
266(2-3):1605–1674, 2019.
[4] de la Llave, R., [2001], A tutorial on KAM theory. Smooth
ergodic theory and its applications
(Seattle, WA, 1999), 175–292, Proc. Sympos. Pure Math., 69,
Amer. Math. Soc., Providence,
RI.
[5] Moser, J., Zehnder, E.J., [2005], Notes on dynamical
systems. Courant Lecture Notes in Math-
ematics, 12. New York University, Courant Institute of
Mathematical Sciences, New York;
American Mathematical Society, Providence, RI.
