IIMAS - FENOMEC
UNAM
Un viaje desde una estabilización mínima hasta condiciones uniformes de inf-sup en mallas anisotrópicas.
Resumen:
Los elementos finitos se usan para aproximar soluciones de ecuaciones diferenciales parciales.
En el caso de que la EDP relacione dos funciones desconocidas, por ejemplo, velocidad y presión, usamos un par de elementos finitos.
Para garantizar la existencia de una solución única, ese par debe satisfacer una "condición inf-sup".
Muchos pares de elementos finitos que satisfacen tales condiciones se conocen en mallas isotrópicas, pero en las mallas anisotrópicas
que contienen elementos largos y delgados, su constante de inf-sup puede depender negativamente de las relaciones de aspecto de la malla.
Esa dependencia puede afectar la calidad de la aproximación.
Por lo tanto, el deseo es tener condiciones uniformes de inf-sup, es decir, condiciones independientes de las relaciones de aspecto.
Ilustrare este comportamiento para el flujo de Stokes en dos pares de elementos finitos.
La condición inf-sup del par $Q_{k + 1} \times P_{k-1}$ sufre cuando la malla se refina
anisotrópicamente hacia una esquina, a esa parte de la malla le digo "corner patch".
Afortunadamente, el efecto negativo puede eliminarse utilizando una técnica de estabilización mínima.
Al extender esta técnica, también encontramos condiciones uniformes de inf-sup para pares de segundo orden
de Taylor-Hood que consisten en $Q_{2} \times Q_{1}$ y $P_{2} \times P_{1}$ en una clase de mallas anisotrópicas.
Esas mallas pueden contener bordes refinados y "corner patches".
Esta estabilidad ha sido una pregunta abierta desde el año 2003.
Los resultados anteriores fueron principalmente negativos, en el sentido de que existen mallas para las cuales las constantes inf-sup degeneran con la relación de aspecto.
Por lo tanto, hemos propuesto condiciones mínimas para que esos pares TH de orden más bajo sean estables con una constante independiente de la relación de aspecto.
Comenzaré la charla con algunos conceptos básicos de elementos finitos y mallas.
Luego presento los principales resultados con evidencia numérica.
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